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黎曼猜想与微积分

  黎曼积分:微积分首次具有了严谨精确的定义

  我们都熟知微积分是牛顿和莱布尼茨发明的,我们今天利用微积分计算一块区域的面积、计算发动机的功率、计算空气动力、计算磁场强度等等,无时无处不渗透着微积分。然而,我们所学到的微积分与牛顿和莱布尼茨在发明微积分的时期是完全不同的。

  牛顿采用了流数法,莱布尼茨采用了数列阶差,而且微积分的记号形式也更为简洁,这两种方法都可以得到正确的积分结果,但是都缺少严谨的数学逻辑基础[4,5,10]。正是黎曼在柯西等一些分析学数学大师的研究基础上,建立严谨的微积分理论基础。

  时至今日,黎曼积分仍然是科学研究中用到的最广的一套微积分理论。直到数学家发现一些奇异的函数难以用黎曼积分来求解,才相继出现了黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分[6,10]。

  
  曲线围绕图形的面积。图片来源:Wikimedia Commons

  哥廷根大学:黎曼的母校,近代欧洲数学的摇篮

  哥廷根是一个只有十几万人口的德国小镇。而哥廷根大学,一个小众的学校名字,相较于牛津、剑桥、哈佛、耶鲁来说,可能几乎没有什么人听说过,就像没有多少人听说过黎曼的名字一样。但是,历史无法掩盖它昔日耀眼夺目的光芒。那是一个风云际会、百花齐放的哥廷根时代。[9]

  它的辉煌始于数学奇才高斯,在此之后,黎曼、狄利克雷、雅可比和菲利克斯·克莱因相继涌现,众星云集,在数学的众多领域,包括代数、几何和分析领域做出了巨大的贡献。一直到大卫·希尔伯特,德国哥廷根数学学派进入了全盛时期。

  除此之外,哥廷根大学在物理学领域也毫不逊色,著名的物理学家包括普朗克、赫兹、海德堡、费米、泡利和奥本海默等等。据统计,前后共有46名诺贝尔奖得主,或在此读书或教学。恐怕世界上很难再找到一个城市,能有如此伟大的学术荣耀。

  那些被证实和没有被证实的数学猜想

  数学家常常以猜想的形式提出问题,这些猜想可能对人类科技的发展没有直接的影响,但是在证实猜想的过程中,所迸发出的新方法和新思路却给数学的科学带了重要的作用。也许,这也算是数学猜想神秘而迷人的一个方面吧。

  最有名的数学猜想恐怕非哥巴赫猜想莫属了,除此之外还有四色猜想和费马猜想。其中费马猜想于1994年由英国数学家安德鲁怀尔斯完成证明,因此不再称为猜想,而称为费马大定理。四色猜想由美国数学家阿佩尔和哈肯借助计算机完成,从而被称为四色定理。哥德巴赫猜想至今还没有完成证明,目前最好的结果还是我国数学家陈景润取得的。

  除了这三个之外,最著名的要数德国数学家大卫·希尔伯特的世纪之问了。他在19世纪和20世纪之交的1900年世界数学家大会上提出了23个数学问题,这被誉为当时数学的顶峰。黎曼猜想便是其中之一,时至今日,绝大多数已经经过无数数学家前赴后继的研究得以证实。

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